שיעור מספר 7: משמעויות של חיבור ושל חיסור

חיבור דינמי, חיבור סטטי, חיסור של גריעה וחיסור של הפרדה

משמעות המספרים ופעולות החשבון היא הקשר שלהם למציאות. כאשר הבנת המשמעות קודמת לכל לימוד נוסף העניין מובטח, ההנאה רבה והלימוד יעיל ומשמעותי. משמעות המספר באה לו ממניית עצמים בעולם. משמעות החיבור היא צירופן של שתי קבוצות. אנחנו רגילים לחשוב שמשמעות החיסור היא הרחקה. בשיעור היום ובשיעורים הבאים נגלה שיש לחיסור משמעויות נוספות ושונות, נלמד להבדיל ביניהן ולזהותן לפי רמזי שפה. משמעות הכפל היא חזרה על קבוצות שוות גודל. אנחנו רגילים לשמוע שלחבר שתיים ועוד שלוש זה אותו הדבר כמו לחבר שלוש ועוד שתיים וגם רגילים לשמוע שהמכפלה של שתיים בשלוש היא אותו הדבר כמו המכפלה של שלוש בשתיים -- נכון? -- לא נכון! -- חוק החילוף מבטיח שבחיבור ובכפל התוצאה זהה (מה שאותו הדבר זה התוצאה) -- אבל התרגילים שונים ומשמעותן שונה. אנחנו גם רגילים לחשוב שמשמעות החילוק היא חלוקה לחלקים שווים. אבל לחילוק מספר משמעויות שונות והכרתן וזיהויין משמש בסיס איתן בנושאים מתקדמים נוספים ובפתרון בעיות. אחד הדברים שמעניקים עניין למשמעות הוא קיומן של דקויות. נגלה דקויות והבדלים רבים בין המשמעויות השונות של פעולות החשבון. נגלה גם שלמשמעות חלק ניכר בקביעת החוקים ששולטים בפעולות החשבון.

בשיעורים הקרובים נעמוד על המשמעויות השונות של ארבע פעולות החשבון שאנחנו מכירים. נגלה דברים רבים חדשים בנושא שנדמה לנו שאנו מכירים בו הכול ושולטים בו לחלוטין. עם סיום הלימוד נעלה כולנו בעוד שלב של הבנה מתמטית ונחזק את השליטה שלנו במושגים מתמטיים ובשימוש בהם. 

בשיעור היום, שיעור מספר 7, נלמד על משמעויות החיבור ועל שתי משמעויות של חיסור; בשיעור 8 וב-שיעור 9 נלמד על שאר משמעויות החיסור ונסכם את הדומה ואת השונה ביניהן; בשיעור 10 נלמד על משמעות הכפל; בשיעור 11 נלמד על משמעויות החילוק; בשיעור 12 נעמיק במשמעויות היחס ובשיעור 13 נעסוק במשמעויות של 4 פעולות החשבון בשברים.

חיבור

מה מקור הסימון + לחיבור?

עד לפני כ-600 שנים כתבו את פעולות החשבון במילים. כאשר כתבו בלטינית (שפה עתיקה שהיתה מקובלת כשפה שכל משכיל ראוי שישלוט בה) נהגו לציין את החיבור באמצעות המילה et שפירושה: וְ. מכאן ואילך מדובר בתופעה נפוצה: עצלנות וקיצורים: הצלב שבראש האות t גרם לרבים להתעצל ולכתוב פשוט + וזהו. בארץ היו נוהגים לסמן ﬩ כדי שלא לסמן צלב. מנהג זה להשתמש בסימון דומה אך שאינו זהה לסימן הפלוס האוניברסלי הולך ונכחד.

אופן המנייה

את החיבור אפשר לתאר באופן מעשי בשני אופנים:

א. איחוד של שתי קבוצות, וספירה של מספר האיברים בקבוצה המאוחדת -- לדוגמה, איסוף ילדי שתי כיתות לאולם בית הספר, וספירת מספר התלמידים בקבוצה המשותפת, מההתחלה

ב. שינוי של קבוצה אחת, שמוסיפים לה עוד איברים -- לדוגמה, העברת ילדי הכיתה האחת לחדר הכיתה השנייה בזה אחד זה. כאן המנייה של מספר התלמידים בסך הכול הוא מניית המשך: יודעים כמה תלמידים בכתה השנייה ומוסיפים בכל פעם עוד 1 בכל רגע שתלמיד נוסף מצטרף

שתי המשמעויות מתלכדות ומביאות לאותן תוצאות חישוביות ועקרוניות. אם כך, מדוע לנו להבחין ביניהן? 

אפשר למנות את חברי הקבוצה בסוף המקרה מההתחלה או שאפשר למנות באמצעות מניית המשך (ממשיכים למנות את החברים שנוספו לקבוצה).

השיטה השנייה יעילה יותר.

משמעויות שונות

נתבונן בתרשים הבא ובו ציפורים. נספר סיפור חשבוני על אשר אנו רואים. סיפור חשבוני מתאר קשר חשבוני כלשהו בין מרכיביו.

מורה: תלמידים, הציעו סיפורים חשבוניים לתמונה שלפנינו -- ספרו את העובדות שאתם רואים בתמונה:

תלמיד: שלוש ציפורים נחות על הקרקע ושתי ציפורים נוחתות.
מורה: תודה. יש עוד הצעות?
תלמיד: בתמונה שלוש דוכיפת ושני תוכים.
מורה: תודה. בוודאי תוכלו לספר סיפורים נוספים. נסתפק באלה לעת עתה. מה ההבדלים בין הסיפורים?
[דיון בכתה]
מורה: אני מבקש לסכם את הדיון [פונה לתלמיד כדי לסכם]
תלמיד: בסיפור הראשון הצטרפו לקבוצת הציפורים שעל הקרקע עוד שתי ציפורים ואילו מהסיפור השני נדמה שהציפורים מלכתחילה היו באותה הקבוצה.

לכאורה אין הבדלים וכל הדקויות הללו נראות קטנוניות, אולם למעשה יש לפנינו שני סוגים שונים של חיבור: חיבור סטטי וחיבור דינמי.

מורה: בעיה חשבונית היא סיפור חשבוני שמציג בסופו שאלה שיש לענות עליה. אני מבקש שתציעו בעיות חשבוניות שמתאימות לשני הסיפורים ששמענו בסיכום עבור התמונה שלפנינו. נתחיל בבעיה חשבונית לסיפור החשבוני הראשון.
תלמיד: שלוש ציפורים עומדות על הקרקע. שתי ציפורים נחתו והצטרפו. כמה ציפורים יש לנו בסך הכול?
מורה: תודה. מה התרגיל שמתאים לבעיה החשבונית?
תלמיד: 5=3+2
מורה: תודה. ומה בנודע לבעיה חשבונית לסיפור השני?
תלמיד: בתמונה שלוש דוכיפת ושני תוכים. כמה ציפורים בתמונה בסך הכול?
מורה: תודה. ותרגיל מתאים?
תלמיד: 5=3+2
מורה: התרגיל, אותו התרגיל, המשמעות שונה בשני המקרים.

בחיבור דינמי הצירוף הוא שינוי מצב: 

שלוש ציפורים נחו על הקרקע ושתיים הצטרפו. כמה יש עכשיו? 

בחיבור סטטי הצירוף מבטא חלוקה לסוגים:

בתמונה שלוש דוכיפת ושני תוכים. כמה ציפורים בתמונה בסך הכול?

יש בין המורים שמכנים את החיבור הדינמי סרט ואילו את החיבור הסטטי מכנים תמונה.

כינוי משותף

3 עפרונות ועוד 4 עפרונות הם 7 עפרונות. לסכום יש אותו כינוי כמו למחוברים. כלומר, אנחנו מחברים עצמים מאותו הסוג. ומה קורה כאשר לשני המחוברים כינויים שונים, כמו: כמה הם 3 בננות ועוד 4 תפוזים? כדי לבצע את החיבור נחוץ כאן כינוי משותף -- פירות, למשל. 3 בננות ועוד 4 תפוזים הם 7 פירות.

גם כאשר עלינו לפתור תרגיל, כמו:    =  4  +  523  אנחנו מחברים את 4 האחדות עם 3 האחדות. כלומר, מחברים מספרים בעלי אותו כינוי. חישבו, למשל, מדוע בחיבור במאונך אנו מציבים אחדות מתחת לאחדות, עשרות מתחת לעשרות, וכך הלאה... כן! כדי לחבר יחדיו דברים בעלי אותו הכינוי. במקרה של מבנה המספר העשרוני, מקומה של ספרה במספר קובע את הכינוי שלה, זהו ערך המקום -- במבנה המספר העשרוני לספרות במקומות זהים במספרים יש כינוי משותף.

חשוב להבחין שהתלמידים מקפידים על הכינויים (שלוש דוכיפת, שני תוכים) וגם באופן טבעי מגיעים בפעולת החיבור לכינוי משותף (שלוש דוכיפת ועוד שני תוכים הם ביחד חמש ציפורים). כינוי משותף הוא המקרה הכללי של מכנה משותף (פעולה חשובה בעת חיבור שברים בעלי מכנים שונים -- שימו לב שכמו שבמקרים שבהם מחברים עצמים עם כינויים שונים נזקקים לכינוי משותף לסכום כך בדיוק אנו עושים בחיבור שברים בעלי מכנים שונים -- אנו מביאים את הסכום למכנה משותף).

כינוי משותף או מכנה משותף נחוץ לנו ושימושי לנו בחיבור שברים. אפשר בקלות לחבר תשיעית עם שלוש תשיעיות ולקבל ארבע תשיעיות כי לשברים אותו המכנה וכך גם לסכום. לעומת זאת, כדי לחבר תשיעית אחת עם שלושה רבעים אצטרך תחילה לבטא את המחוברים בעזרת אותו מכנה, כלומר, למצוא להם מכנה משותף.

חוק החילוף

האם 2+3 ו- 3+2 הם אותו הדבר?

בדיון עם התלמידים הם החליפו כאשר הציגו את הסיפורים ואת הבעיות ואת התרגילים  את סדר המחוברים: פעם אחת הצטרפו שתי ציפורים לשלוש ציפורים ופעם אחרת הצטרפו שלוש לשתיים. זה בכלל משנה? זה אותו הדבר?

הדעה הרווחת בכתה היא שזה בדיוק אותו הדבר. כך גם למדו בבית הספר. האמת היא, שהדבר היחידי שהוא אותו הדבר זאת התוצאה ובכל עניין אחר יש הבדלים במשמעות. נסביר:

התוצאה זהה, לפי חוק החילוף שאותו למדנו והפנמנו כבר בכתה א'. שמו של חוק החילוף בא לו מכך ששני המחוברים מחליפים מקומות. האם פישור הדבר שהמשמעות זהה?

בחיבור סטטי -- כן. השאלה: "לגפן 3 עפרונות, למרב יש 4. כמה עפרונות יש להם ביחד?" זהה ל-"למרב 4 עפרונות ולגפן 3. כמה עפרונות יש להם ביחד?". 

בחיבור דינמי -- לא. הסיפור "לבניין בן 3 קומות נוספו 4 קומות" שונה מ-"לבניין בן 4 קומות נוספו 3 קומות". אנחנו יודעים שאם היו לי שתי גולות והרווחתי עוד שמונה אז היה לי משחק הרבה יותר מוצלח מאשר המקרה שבו היו לי שמונה גולות והרווחתי שתיים. בשני המקרים סיימתי את המשחק עם יותר גולות מאשר התחלתי ובשני המקרים סיימתי עם 10 גולות בכיסי אבל במקרה הראשון הרווחתי יותר מאשר במקרה השני. כל כלכלן ואיש כספים יאשר לכם שהרווח שלי משמעותי יותר במשחק שבמקרה הראשון. ברור לנו שאין מדובר באותו הדבר ולכן, בחיבור דינמי זאת שגיאה לומר שבגלל חוק החילוף סדר המחוברים אינו משנה -- נהפוך הוא -- סדר המחוברים משנה מאוד. מה שמטעה אותנו זה שהוא אינו משנה דבר בתוצאה. אנחנו צריכים להתרגל להסתכל גם על התהליך ועל המשמעות ולא רק על התוצאה הסופית.

אנחנו משתמשים בתרגילים שלנו בחוק החילוף לצורך הנוחות כי ישנם ממקרים שבהם זה מקל על החישובים. למשל, קל יותר לחשב 9+2 מאשר 2+9. במקרה הראשון אני צריך להמשיך ולספור "עשר, אחת עשרה" וסיימתי, ואילו במקרה השני "שלוש, ארבע, חמש, ..., עשר, אחת עשרה". ההבדל הוא בכמה צעדים עליי להתקדם כדי להגיע לתוצאה.

נשים לב שבשפה אין אנו מקפידים להבחין בין המחבר לבין המחובר, לשניהם אנו קוראים מחוברים.

ראינו שלפעולת החיבור בחשבון יש שתי משמעויות שונות. 

המצב שונה ומורכב יותר בחיסור. בחיסור יש 6 משמעויות שונות.

חיסור

נפתח בניסיון להבחין בין שתי משמעויות של חיסור ובשאר נטפל בשיעור הבא.

מורה: נתבונן בתמונה. מהו סיפור החשבוני שאפשר לספר עליה?
תלמיד: מצוירים חמישה בלונים. שניים התפוצצו.
מורה: תודה. ומהי בעיה חשבונית מתאימה שאפשר להציע לפי התמונה והסיפור?
תלמיד: היו לי חמישה בלונים. שניים התפוצצו. כמה בלונים נשארו לי?
מורה: מהו השלם בסיפור שלנו?
תלמידים: ??
מורה: נכנה בשם שלם את הגודל או את הכמות בסיפור שלנו שהחלטנו שיהיו השלם.  קבוצת פריטים שנלקחו מהשלם שהחלטנו עליו נכנה בשם חלק (או -- חלק מהשלם). עכשיו, מי יכול להציע מה יהיה השלם בבעיה החשבונית שלנו?
תלמיד: השלם: 5 בלונים
מורה: תודה. ומהם חלקי השלם בבעיה החשבונית שלנו?
תלמיד: שלושה בלונים שנשארו -- חלק אחד. שני בלונים שהתפוצצו -- חלק שני.
מורה: יש חלקים נוספים?
תלמיד: לא במקרה הזה.
מורה: נתבונן בתרשים שמתאר שלם וחלקיו לבעיות מסוג זה

מורה: הנה תמונה נוספת. אבקשכם להציע סיפור חשבוני ובעיה חשבונית וגם תרשים ותרגיל. אח"כ נדון בדומה ובשונה בין שני המקרים שהצגתי לכם.

הסיפור החשבוני: ישנם 5 בלונים. שניים אדומים ושלושה ירוקים.
בעיה חשבונית: היו לי 5 בלונים שחלקם בצבע ירוק וחלקם בצבע אדום. 3 מהבלונים אדומים והשאר ירוקים. כמה ירוקים?
תרשים ותרגיל:

אנו רואים שיש הבדלים בסיפורים ובבעיות, אך התרשים והתרגיל בשני המקרים זהים.

במקרה הראשון גרעתי (לקחתי, הסרתי, השמדתי, פוצצתי...) ממספר הבלונים ומספר הבלונים בסוף הסיפור היה שונה ממספרם בתחילת הסיפור.
במקרה השני הפרדתי בין הבלונים, לפי הצבע, ואין שינוי במספר הבלונים בסך הכול בתחילת הסיפור ובסופו.

חיסור של גריעה

בחיסור הזה נתון שלם. אנחנו מחסרים ממנו כמות כלשהי על ידי העלמה או מסירה או אכילה או גריעה או סילוק או כל פעולת הרחקה שהיא ובודקים מהו החלק שנותר.

דוגמא לבעיה מסוג זה:

היו לי 11 מפתחות בצרור. 2 מפתחות אבדו. כמה מפתחות נותרו?

משמעותה, היה שלם כלשהו שהכיל 11 מפתחות. 2 מפתחות הלכו לאיבוד, כלומר, הם הורחקו מהשלם. בצרור נותרו 9 מפתחות.

התרגיל:

9 מפתחות =  2 מפתחות  -   11 מפתחות

זהו החיסור הבסיסי והטבעי.

חיסור של הפרדה

בחיסור זה נתון השלם ובתוכו קבוצות שאנו מפרידים ביניהן על ידי חיסור על סמך תכונה מבדלת.

יש לי 11 מפתחות בצרור. 2 מהם גדולים והיתר קטנים. כמה מפתחות קטנים יש לי?

התרגיל:

9 מפתחות =  2 מפתחות  -   11 מפתחות

כפי שרואים מהבעיה שבדוגמא, אין בה כל גריעה. יש בה הפרדה של איברי הקבוצה הכוללת לשתי תת-קבוצות לפי קריטריון שהוחלט עליו. בבעיה זו הקריטריון הוא: גודל.

על אותה קבוצת מפתחות אפשר להמציא בעיות נוספות, כמו:

בצרור 11 מפתחות. 7 מהם אדומים והיתר ירוקים. כמה מפתחות ירוקים בצרור?

הקריטריון שנבחר הפעם להפרדה הוא: צבע.

או:

בצרור 11 מפתחות. 5 מהם מפלסטיק והיתר ממתכת. כמה מפתחות מתכת היו בצרור?

התכונה שנבחרה הפעם להבדלה בין הקבוצות היא: סוג החומר.

ואפשר למצוא עוד תכונות מבדילות, למשל, טיב המפתחות.

משימה:
המציאו לתרגיל 5=9-4 בעיה אחת של גריעה ובעיה אחת של הפרדה.

משימה:
פתרו את התשבץ כדי לבדוק כמה אתם זוכרים את המושגים שעליהם דיברנו בשיעור.

משימה:
סווגו (חלקו לפי הסוג) את הבעיות הבאות לפי המשמעות לקבוצות הבאות-חיבור דינמי, חיבור סטטי, חיסור של הפרדה, חיסור של גריעה. פתרו את הבעיות באמצעות תרגילי חשבון מתאימים ותנו תשובה סופית שבה תשתמשו בכינוי המתאים בתוצאה.

1. ירון מקבל הכנסה שנתית של 162,000 ש"ח כתוצאה מעבודתו ורונית מקבלת הכנסה שנתית של 170,820 ש"ח. מהי ההכנסה השנתית המשותפת של רונית ושל ירון?
2. באגם החולה שוחים ומשתכשכים כרגע 250 עגורים ו-53 ברכיות. במהלך השעה נחתו באגם גם תריסר כפנים. כמה עופות בסך הכול נמצאים באגם לאחר נחיתת הכפנים?
3. בדוכן המכירה של משפחת יהל מכרו ביום עבודה 9178 כוסות קפה משני סוגים של קפה: קפה עם הל וקפה ללא הל. רק 3217 מהכוסות שנמכרו ביום העבודה היו של קפה ללא הל. כמה כוסות קפה עם הל מכרו בדוכן של משפחת יהל ביום העבודה?
4. באולם הספורט התכנסו 140 תלמידי כתות א' ועוד 138 תלמידי כתות ד' לצפייה בהצגה. הסדרן המתין עד אשר כל התלמידים יתיישבו והחל למנות אותם. כמה תלמידים ימנה הסדרן?
5. ממוזיאון האומנות הגדול של כפר יונה שבו מוצגות 53 יצירות נגנבו 14 ציורי שמן. כמה יצירות נותרו במוזיאון לאחר הגניבה?
6. אל מגרש הספורט שבו משחקים 153 תלמידי כתות ב' הגיעו 140 תלמידי כתות א' כדי לצפות במשחקים עד אשר יצלצל הפעמון. כמה תלמידים בסך הכול צופים ומשחקים במגרש הספורט?

משימה:

המציאו בעיות מכל הסוגים שלמדתם במספרים בתחום המיליון. רִשְמוּ מראש לאיזה סוג שייכת הבעיה שאתם מציעים וּפִתְרוּ אותה. רִשְמוּ תשובות מלאות. אל תשכחו לרשום את הכינויים.

נעזרתי רבות לצורך ההסברים במקורות הבאים ואני ממליץ מאוד להורים ולמורים לקרוא בהם לטובת העמקה ולעיון נוסף:

• המשמעויות השונות של החיסור ותרומתן לפיתוח החשיבה מאת תלמה גביש
• חשיבותם של סיפורים חשבוניים, מאת חני גביש
• חשבון להורים, ספר למבוגרים על מתמטיקה של ילדים, מאת רון אהרוני, הוצאת שוקן
• שליש לחלק לרבע, המחשבה שמאחורי החישוב, מאת מירה עופרן, הוצאת רכס

בשיעור היום למדנו על שתי משמעויות של חיבור: חיבור סטטי וחיבור דינמי ולמדנו על שתיים מתוך שש משמעויות של פעולת החיסור: חיסור של גריעה וחיסור של הפרדה. בשיעור הבא, שיעור מספר שמונה, נלמד על עוד שתי משמעויות של החיסור.

הנה סרטון שמסביר את שתי משמעויות החיסור שלמדנו היום: חיסור של גריעה וחיסור של הפרדה:

המורה,

שלמה יונה