יום שישי, 30 בדצמבר 2011

על הצורך במושגי יסוד


על הצורך במושגי יסוד  

[...] נלמד לחשוב ולהבין תופעות בעולם. לשם כך נשתמש במתמטיקה בכלל ובגיאומטריה בפרט כבמגרש משחקים וכמעבדה כדי ללמוד עקרונות ורעיונות שאותם נוכל להפעיל ולנסות על בעיות שונות בעולם. לפעמים התרגום מהמתמטיקה לבעיה בעולם וההיפך קלה ולפעמים היא קשה. [...] נפתח צורת חשיבה באמצעות תרבות ושפה כאשר המתמטיקה משמשת לנו גם כדגם וגם ככלי עבודה.

את המילים הללו שמעו התלמידים בשיעור המבוא של סדנת המתמטיקה וכן שמעו על אודות הסדנה ועל אודות המורה. 

עמוד מתוך הספר "יסודות" של אוקלידס
[להורים ולמורים: אפשר לקרוא על עקרונות ההוראה ברשימה הזאת ועל המורה ברשימה הזאת ועל הוראת גיאומטריה לתלמידי בית ספר יסודי בעזרת בניות בסרגל ובמחוגה ברשימה הזאת

שאלתי את התלמידים על אילו נושאים הם למדו ולומדים במתמטיקה ומדוע לדעתם הם לומדים את זה. שאלתי אותם על השימושים של מה שהם לומדים. השיחה קלחה ובמהלכה הרגלתי את התלמידים לכמה הרגלים תרבותיים בכתה בתקשורת שבינינו, כגון:
  • פנייה אל התלמידים בשמם הפרטי
  • חזרה על שמו של תלמיד שאמר דבר מה (תחת השימוש ב-"הוא" או ב-"היא") וחזרה על דבריו בניסוח שונה
  • ביאור מושגים
  • לשאול למה הכוונה כאשר אין מבינים למה הכוונה
  • להשתמש במונחים מדוייקים וברורים
  • השיחה אינה רק בין התלמידים לבין המורה אלא במליאה -- הדיון מונחה על ידי המורה
  • הסבר או מענה אינם מגיעים רק מהמורה: המורה מבקש או נותן רשות לתלמידים להסביר ולפרש לתלמידים אחרים
  • מותר, רצוי והכרחי לבקש הסברים
מתוך התייחסות לתמונה שבכתה שאלנו ממה הנושא של התמונה (מבנה בכפר יונה) מורכב, ואז ממה המרכיבים מורכבים עד שהגענו לחלקי יסוד. גם במהלך השיחה כשעלה מושג, ביקשתי להסביר אותו, ואז להסביר מושגים שהיו בשימוש בהסבר וכך הלאה -- עד שהבנו שיש צורך במושגי יסוד -- מושגים שאין מגדירים אותם אלא "מחליטים" או "מסכימים" עליהם ובאמצעותם אנחנו מגדירים ומסבירים את המושגים האחרים. יש כאלה בכל תחום.

סיפרתי לתלמידים שהנושא העיקרי בשיעורים שלנו הוא גיאומטריה וסיפרתי להם על מושגי היסוד בגיאומטריה:
  • נקודה
  • ישר
  • מישור
  • מרחב
הצעתי לתלמידים שמעוניינים לחפש הסברים והגדרות למושגים אלה בבית במילונים, בספרים, באינטרנט או אפילו לשאול הורים או מכרים. בשיעור הבא נעסוק בהם.



התלמידים התבקשו להגיע לשיעורים הבאים עם מחברת משובצת, כלי כתיבה, סרגל, מחוגה ומד זווית.



המורה,

מי מלמד את הילדים שלכם בסדנת המתמטיקה?


מי מלמד את הילדים שלכם לאחר שעות הלימודים בסדנת המתמטיקה?

שלמה יונה מלמד בסדנת המתמטיקה בבית הספר עמל בכפר יונה את קבוצת תלמידים מכיתות ה' ו-ו' שנבחרו על ידי רכזות המתמטיקה בבית הספר וכן תלמידים נוספים (אפילו מכיתות אחרות) שמעוניינים ללמוד, להרחיב ולהעמיק. התלמידים מגיעים מתוך בחירה. ההוראה בהתנדבות מלאה ולאחר סיום יום הלימודים. 


אני תושב כפר יונה. שלושת ילדיי לומדים במערכת החינוך בכפר יונה. לפרנסתי אני מפתח אלגוריתמים ותוכנה בחברת אאוטבריין. השכלתי האקדמית היא במדעי המחשב (תואר שני בבלשנות חישובית) ובהנדסת מחשבים ותוכנה (תואר ראשון) ויש לי גם תעודת הוראה במתמטיקה. מעת לעת ולפי יכולתי אני מלמד מתמטיקה בהתנדבות בבתי ספר יסודיים ועל יסודיים, מדריך הורים כיצד לעזור לילדיהם בשעורי הבית ומעביר סדנאות להורים לילדים בגיל הגן בנושא אוריינות מתמטית. בכל הקשור להוראה אני נהנה מייעוץ מהשורה הראשונה מאשתי, מיכל, שמרכזת את לימודי המתמטיקה בתיכון איש שלום בכפר יונה ומהמורה הוותיקה, מחברת ספרי עיון בחינוך וחומרי לימוד  תלמה גביש שנמנית עם מייסדי  העמותה הישראלית לקידום החינוך המתמטי לכול שבה גם אני חבר.


המורה,

מדוע ללמד גיאומטריה בעזרת בניות עם סרגל ומחוגה?


מדוע ללמד גיאומטריה בעזרת בניות עם סרגל ומחוגה?


בגיאומטריה נוספת לפעילות הקוגניטיבית של החשבון גם פעילות מוטורית: שימוש נכון ומושכל במחוגה ובסרגל, על ידי ביצוע של בניות בעזרת סרגל ( ללא שנתות ) ומחוגה. הלימוד והתרגול של בניות בסרגל ובמחוגה משמשים בסיס ללימוד הפורמלי של הגיאומטריה בעל-יסודי, שם הבניות מתבססות ומלוות בהוכחות גיאומטריות. שילוב הפעילות המוטורית בתיאור תהליך הַבְּנִיה מאפשר הפנמה שלתהליכי החשיבה והבנה עמוקה יותר של המושגים ושל מערכות היחסים.

בסדנת המתמטיקה שלנו הנושא הוא גיאומטריה והאמצעי הוא בניות בעזרת סרגל ומחוגה. סדר ואופן ההוראה מבוסס ברובו על שיעורים למורה ולתלמיד בהנדסה שפיתחה וכתבה והעמידה לרשות הרבים תלמה גביש, אשר גם מנחה ומדריכה אותי בהוראת הנושא. אני ממליץ למורים, להורים ולתלמידים להשתמש בחומרים הזמינים באתר של תלמה גביש כדי להרחיב דעת.

הוראת הבניות תורמת תרומה מיוחדת במינה להבנה המתמטית בכלל ולהבנת הגיאומטריה בפרט. ההתנסות הממושכת תהליך של הביצוע המעשי, הניסוחים הקפדניים והשילוב של שני אלה הם בסיס הכרחי להבנה. במיוחד גדולה תרומתו של החלק המטפל בקווי הלוואי של המשולשים. בתוכו יש חשיבות מיוחדת במינה לבניית הגבהים. השימוש בהגדרת הגובה, ההבחנה בין האנך היורד מהקדקוד אל הצלע שמולו או אל המשכה לבין האורך של הגובה, ההבחנה בין מצב הגבהים במשולשים השונים והפירוק של התהליך המורכב לצעדים מדודים, פותחים לפני התלמיד את הדרך להבנה מעמיקה של הגיאומטריה. כדי להפיק את מלוא התועלת מהוראת הבניות יש להקדיש לנושא זמן רב. הבניות הן חוליה חשובה בבניית המעבר מהתהליך האינדוקטיבי לדדוקטיבי

חישוב שטחים של מקביליתמשולש וטרפז מחייב הכרת מושג הגובה. כדי ללמד את מושג הגובה, חייבים להתייחס להורדת אנך. כדי שבנייה זו תובן יש להבחין ביןהורדת אנך להעלאת אנך. הגובה הוא אחד מקווי הלוואי של המשולש, הוראתו ללא קווי הלוואי האחרים: אנך אמצעי, תיכון וחוצה זווית, עלולה לגרום לטעויות בעתיד, שכן תלמידים רבים חושבים, בעקבות ההתמקדות בגבהים, שלמשולש יש רק קו לוואי מסוג אחד ובהמשך לימודיהם מבלבלים בין כל קווי הלוואי. בנוסף, לומדים רבים נוטים לקרוא לצלע המשולש: "בסיס" כאשר הצלע מאוזנת. זוהי טעות שיש בה ערבוב פרמטר של צורה עם פרמטר של כיוון. בסיס על פי הגדרתו מצוי רק במשולש שווה שוקיים, לשיום הצלע שאינה שווה לאחרות. במשולש שווה צלעות כל הצלעות הן גם שוקיים וגם בסיס.
הביטוי השגוי השגור בפיהם של רבים: "שטח משולש שווה למחצית המכפלה של הבסיס בגובה", מקורו באותה טעות. מניעת הטעות מחייבת הבחנה בין הגבהים השונים. תלמיד שבנה את שלושת הגבהים באמצעות הורדת אנך, יבין טוב יותר את מושג האנכות, יכיר את האפשרויות השונות של היחסים בין הגבהים למשולשים מסוגים שונים וילמד, בדרך זו, כיצד מנתחים תופעה מכל היבטיה. שילוב קווי הלוואי עם בניות בעזרת סרגל ומחוגה ועם חישובים של היקפים ושטחים נשזרת היטב על החישובים עם יחידות מידה.  

מטרות היחידה
   -  יצירת הבסיס הנדרש ללימוד הגיאומטריה.
-         הכרת בניות היסוד: חציית קטע, העמדת אנך, הורדת אנך, חציית זווית, העתקת זווית ובניית זוויות באמצעות מחוגה וסרגל (ללא היעזרות ביחידות שעליו).
-         קישור לחומר קודם ושימוש בו. למשל, בדיקת גודלה של זווית שנבנתה במחוגה וסרגל על ידי מד-זווית.
-         שימוש בהגדרות ובהוראות לביצוע פעולות הנדסיות.
-         הטלת דיסציפלינה מתמטית על חומר מוכר. 
-         הכרת קווי הלוואי של המשולשים.
-         הכרת חשיבותה של המחוגה בבניות.
-         הכרת המעגל החוסם והחסום במשולש.
-         הכרת הגבהים במקבילית.
-         יישום בניות שנלמדו בפעילויות מורכבות יותר כמו, חציית קטע המשמשת   
    להכרת התיכונים במשולש.
- ניסוח תהליך הבנייה ההנדסית בקפדנות, תוך שימוש במטבעות לשון מדויקות, כמו: מ - A חגתי קשת במחוג או: אל A כקדקוד ואל AB כשוק העתקתי את הזווית  נתונה. 

תת- מטרות
  - קישור בין פעילות מוטורית (שרטוט) וקוגניטיבית (ניתוח תהליך) לשם יצירת חוויה תחושתית-אינטואיטיבית שתבסס את קליטת המושגים והיחסים ביניהם.
-         קישור פעילות מחשבתית אל השימוש במכשירי עזר כמו מחוגה וסרגל.
-         יצירת הנאה אצל הלומד מהעיסוק בבניות.
-         להפעיל אופרציות מנטליות כמו: הבחנה, זיהוי, הבנת יחס וכיוצא בזה כהכנה לשלב האופרציות הפורמליות.
-          קריאת הוראות.
-          הפעלת מנגנוני ביקורת עצמית, כמו בניית זוויות בעזרת מחוגה וסרגל
וביקורת הבנייה על ידי מדידה עם מד-זווית.
רשימת מושגים שיילמדו :
מעגל, עיגול, היקף, שטח, מרכז, מחוג, רדיוס, קוטר, מיתר, קשת, אנך, הורדת אנך, העלאת אנך (העמדת אנך), גובה, העתקת קטע, חציית קטע, תיכון, חוצה זווית, אנך אמצעי, משולשים, מעגל חוסם, יתר, ניצב, מעגל חסום, גובה, משפחת המרובעים, מקבילית, מלבן, ריבוע, טרפז, בסיס גדול, בסיס קטן, שוק, מעוין, אלכסון, ציר סימטרייה, הגדרה, מקרה פרטי, מקרה כללי.

התלמידים יזדקקו למחברת, לכלי כתיבה, לסרגל ולמחוגה.



המורה,

סדנת מתמטיקה בבית הספר עמל -- שנת הלימודים התשע"ב

סדנת מתמטיקה בבית הספר עמל 
שנת הלימודים התשע"ב

בבית הספר היסודי עמל בכפר יונה מידי יום שישי לאחר סיום הלימודים מגיעים תלמידים סקרנים שבוחרים ללמוד מתמטיקה גם כשחבריהם חוזרים הביתה. שיעור המתמטיקה הזה מיוחד. אין בחינות, אין מטלות ואפילו אין חובה להגיע. כל תלמיד שמעוניין להשתתף יכול להגיע. ההוראה בהתנדבות מלאה.

הרעיון הוא להכיר לילדים חשיבה מתמטית מסודרת באמצעות שפה מתמטיקה מדויקת, שימוש בהגדרות ובמושגים ובתהליכים לוגיים מסודרים.

הנושא המקשר במפגשים שלנו יהיה: גיאומטריה עם בניות בעזרת סרגל ומחוגה.

במפגשינו בסדנת המתמטיקה נשתמש בגיאומטריה (מה שמכנים בבית הספר היסודי "הנדסה") כמעבדה או כארגז חול כדי לשחק וכדי להתנסות בסביבה פשוטה ומוגדרת היטב שיש לה שפה וחוקים וכללים ותהליכים ברורים ומוגדרים. נשתמש בעקרונות שנלמד בגיאומטריה כדי להבין היכן הם מופיעים במקומות אחרים במתמטיקה, במדע ובחיי היומיום.

הגיאומטריה היא המקום שבו אפשר לקשר בדרך הטובה ביותר בין היד, העין והחשיבה. בגלל ריבוי המושגים, זהו גם המקום שבו אפשר ללמוד היטב מושגים של מיון ושל היסק. זהו גם מקום לביצוע חישובים שמתקשרים עם המחשות ויזואליות.

כוונה והדדיות: התלמידים מגיעים מתוך עניין וסקרנות ומתוך בחירה והמורה מגיע ללמד בהתנדבות ורוצה להרחיב את הבנתם של הילדים. בכל נושא נסביר מדוע אנו עוסקים בו ובכל נימוק נסביר מדוע הוא ענייני.

העברה (טרנסצנדנטיות): היכולת לפעול במרחקים גדלים והולכים של זמן, מרחב ורמות הפשטה, היא המאפיין העיקרי של ההתפתחות האנושית. איך מטפחים את תהליך ההתרחקות ממושא הפעילות והצריכה? איך יוצרים את היחס לעולם אשר מאפיין את האדם? איך יוצרים את יכולת ההעברה של הנלמד לכל תחומי החיים? את זה עושים באמצעות תיווך להעברה: בשיעורים שלנו הגיאומטריה אינה תלושה מהמציאות -- נהפוך הוא -- כל נושא וכל מושג מקושר לחיי היום-יום, להיסטוריה, למדע ולשימושים רגילים. כל עקרון שאותו נסביר ושאותו נבין בהקשר מתמטי מסוים נבדוק היכן הוא מופיע במקומות אחרים ובתחומים אחרים במתמטיקה וגם בחיים. התיווך להעברה אינו מתייחס רק להכללות המשגות ופונקציות מופשטות והוא אף אינו תלוי במודעות המפורשת של המעורבים באינטראקציה התיווכית. התיווך להעברה יוצר בתלמיד מגוון אדיר של אפשרויות פעולה ותגובה, שמשמעותן היא גמישות ויצירתיות שמאפשרות לו לשנות את עצמו באופן תמידי כדי להסתגל למצבים חדשים.

תיווך של משמעות: בסדנה שלנו אין המורה מסתפק בהעברת תכנים לתלמידים אלא עונה על שאלות כמו: מדוע תכנים אלה חשובים? לשם מה יש ללמוד אותם? בדרך זו יוצרים בתלמידים מטען שמהווה מניע לקליטת התיווך ולשימוש בו. התיווך למשמעות הוא שיוצר את הכוחות הרגשיים-מוטיבציוניים שמניעים את פעולותינו ואת התנהגותנו. המשמעות הופכת את המסרים של המורה למובנים ולמנומקים גם לגבי יעדים שמעבר לסיטואציה המידית. המשמעות מעוררת את הצורך של התלמידים לחפש משמעויות בעצמם: לא רק לחפש את המשמעות המסוימת שהמורה מנסה להעביר אלא גם לחפש יחסים וקשרים בין אירועים ותופעות במובן רחב יותר של סיבה ושל תכלית.

אין עניין שהוא מופשט ובאויר ואין לו משמעות ואין לו קשר -- ואין נושא שנלמד שאיך לו שימוש גם מחוץ להקשר שבו הוא נלמד. המטרה היא להרגיל את הלומדים לחפש כוונה ומשמעות בחומר שהם לומדים גם מחוץ לשעורים הללו -- ולהתעקש על הבנה ועל הגדרות מסודרות ועל דיוק. 

אילתורים ועמימות ויצירתיות יפים הם לאחר שהדיוק והעקרונות מובנים ומסודרים -- את החופשיות ביצירתיות ואת היופי שבה אפשר לראות בהשוואה למסודר ולמדויק ולאחר שיש הבנה של הבסיס. יצירתיות היא פריצה ממסגרות בעוד שחינוך הוא הכנסה למסגרת. אנו נלמד לפרוץ מסגרות לאחר שבנינו אותן והבנו אותן ואת שימושיהן ואת עקרונותיהן. כך נעשה סדר בבלאגן.

הלימוד הוא מהמוחשי, דרך הציורי ורק בסוף המופשט. כך התלמידים יבנו להם מודל מנטלי ברור של המושגים.

העקרונות בהוראה הם:
* שיטתיות -- בניית הדברים על פי הסדר הנכון
* שפה מתמטית -- שימוש שפה מדויקת וניסוחים מפורשים
* התנסות ישירה -- בניות בסרגל ובמחוגה: כדי לחבר את היד עם העין, תחילה בסרגל בלבד ואחר כך בשילוב עם המחוגה. התנסות בבניות מחברת בין המושגים, ההגדרות והמשפטים למודל אותו הם מתארים. מי שלומד לתאר בניות ולמלא אחר הוראות בנייה מיטיב להמליל ולנסח מושגים.
* מהמוחשי לציורי ואז ורק בסוף למופשט -- בנייה מדורגת של ההפשטות לטובת יצירת מודל מנטלי נכון ויעיל
* דירוג והדרגתיות-- כל מקרה של קושי גורר טיפול ונסיגה למקרים פשוטים יותר, כדי לבנות מעין מדרגות שיגשרו מעל לפער
* העברה ומשמעות -- קשר למציאות: שימוש באותם העקרונות בנושאים אחרים
* הימנעות מקיבוע -- לימוד מושגים מופשטים מתוך דוגמאות מגוונות
* מצא את השגיאה -- כל תלמיד ותלמידה מוזמנים ונדרשים להביע דעה ולענות ולהשתתף בדיון. מסבירים כל טענה. את הטעויות מזהים, מבינים, מתקנים -- ומהתהליך הזה לומדים. אין לעג ואין בושה -- למעשה, מתשובות שאינן מדוייקות ומטעויות לומדים לפעמים הרבה יותר מאשר מרצף מושלם של תשובות נכונות "מהספר".
* העקרונות באים מהילדים מתוך דיון כתתי ומתוך התנסות

בגיאומטריה, כאשר מגיעים לשלב ההוכחות, צריכים המושגים להיות כבר נהירים. לשלב הדדוקטיבי בגיאומטריה צריכים לקדום שלבים של היכרות ושל בנייה. בתוכניות הלימודים בגיאומטריה של משרד החינוך לחטיבות הביניים נאלצים לשלב את המושגים ואת ההוכחות בבת אחת. רצוי להימנע ממצב שבו התלמידים צריכים בעת ובעונה אחת להבין את המושגים, ועוד בכמה רמות שונות: זיהוי, ציור, המללה, ובאותה עת גם להשתמש בהם בהוכחות דדוקטיביות.

התלמידים בשיעורי הסדנה ירוויחו מהיכרות מוקדמת ומוחשית עם המושגים, הבנה עמוקה ובניית מודל מנטלי נכון שלהם -- כך שלכשיגיעו בחטיבת הביניים להוכחות דדוקטיביות בגיאומטריה, ייקל עליהם לדמיין את הבעיות באופן נכון, יוכלו להשתמש במושגים כראוי, וגם תהיה להם אינטואיציה נכונה לגבי בניות עזר.

שיהיה לכולנו בהצלחה.

המורה,שלמה יונה