כיצד להסביר לילדים בבית ספר יסודי מה זה אורך? ומהו מימד?

שיעור מספר 3: על מושגי האורך והמימד

מוטות עשויים פלטינה שאורכם מטר אחד

לאחר ברכת השלום הזכרתי שבדקות האחרונות של השיעור, כל תלמיד ותלמידה יתבקשו לסכם במחברת את מה שלמדנו בשיעור, ואז אבקש מתלמידים מסוימים להקריא למליאה (בזמן שכותבים אעבור בין התלמידים כדי לאתר תלמידים שלא הבינו או שחסר בסיכומם חלק מהותי מהשיעור) -- המטרה: לקדם התנהגות מסכמת של התלמידים, להשאירם דרוכים וקשובים -- שיתרגלו להאזין מתוך צורך להבין ולהיות מסוגלים לסכם -- הסיכום טוב לחזרה מאוחר יותר.בנוסף חילקתי לילדים לוחות מחיקים אישיים שעליהם אבקש לרשום תשובות.

בשיעור שעבר הגענו לתובנות הבאות:

• לנקודה אין ממדים
• לישר יש ממד אחד 
• למישור יש שני ממדים
• למרחב יש שלושה ממדים

אבל, רגע... מה זה בכלל אורך ומהו מימד?  

נפתח במימד: מימד גם הוא מושג יסוד שאינו ניתן להגדרה. נוכל רק להציג אותו כך: נקודה היא חסרת מימדים, לכן אינה קיימת, אלא במחשבתנו. לקו ישר יש מימד אחד , גם זה תיאורטי, זאת אומרת בדמיוננו, כי ברגע שנצייר אותו אז כבר יהיו  לו שלושה מימדים, אך תיאורטית יש לו מימד אחד, למישור יש שני מימדים : מימד ה-אורך ומימד ה-רוחב [שוב, תיאורטית], למרחב יש שלושה מימדים : מימד ה-אורך, מימד ה-רוחב ומימד ה-עומק [או גובה -- תלוי בנקודת המבט]. בתור מושג יסוד נוכל לייצג את המרחב רק בתנועת יד רחבה ולומר: המקום שבו אנו נמצאים הוא המרחב שלנו.

בשלב הזה אני מתנצל בפני הכיתה ואומר "מצטער, אבל אילו עובדות החיים הקשות, לא הכל ניתן להגדרה ולהסברה."

ונעבור לאורך: גם כאן לא אוכל להגדיר אלא רק להסביר משום שאורך הוא גם מושג יסוד. האורך הוא מושג שמשמש אותנו להבחין בגודל. אנחנו מכירים מנסיוננו בחיים שכאשר אנו אומרים, למשל, שמשאית היא גדולה, אנו מתכוונים שמימדיה גדולים: היא ארוכה, אולי היא אפילו רחבה וכנראה שהיא גם גבוהה. כל אחד מאלה: אורך, רוחב וגובה אנו מודדים ביחידות מידה של אורך.

כשאנו אומרים שלנקודה אין ממדים אנחנו מתכוונים שנקודה אינה תופסת מקום בחלל ואין לה גודל. בעצם, נקודה היא יצור דמיוני במתמטיקה. אין נקודות במובן המתמטי במציאות. מושג הנקודה משמש אותנו לתיאור מושגים אחרים בגיאומטריה. 

כשאנו אומרים שלישר יש מימד אחד אנו מתכוונים קודם כל שאין לו רוחב ואין לו עומק. אנו מסוגלים למדוד את אורכו של קטע מישר. לישר יש שני צדדים: צד אחד וצד אחר. ישר במובן המתמטי אינו קיים במציאות גם כן. איננו יכולים ליצור דבר שיש לו רק אורך ושאין לו עובי או רוחב. איננו גם מסוגלים לייצר או למצוא משהו במובן האינסוף -- איך נדע האם יש או האם אין סוף למה שנראה לנו כמו חלק מישר? גם הישר, כמו הנקודה משמש אותנו להגדרה של מושגים נוספים בגיאומטריה. למעשה, אנחנו כבר בשלים להגדירם.

הודעתי לילדים: הכרזתי "אני אשרטט ואתם תגדירו ונשיים ביחד" כדי להגדיר קרן וקטע. [שיום = לקרוא בשם]

אני מבקש מהילדים לחשוב על הגדרות ולרשום בלוחות המחיקים. לאחר זמן מה במחיאת כף אני מבקש להציג את הלוחות המחיקים. כך אני רואה את ההצעות להגדרות ומסכם על הלוח את הרעיונות. [כך אני יכול בבת אחת לקבל תשובות מכולם ללא המולה בכתה, ללא היעלבויות שאחת ענתה ושאחר לא ענה -- וכך גם אני יכול לראות האם יש שונות בתשובות ומה השונות ולפי המידע הזה להבין כיצד להתקדם בשיעור] ואז מנהל דיון בכתה בין התלמידים כדי להבין מה דעתם על ההגדרות ומדוע.

לבסוף, התכנסנו להגדרות הללו:

קרן: חלק הישר שחסום מצידו האחד.

קטע: חלק הישר שחסום משני צדדיו.

בתהליך הזה תיווכתי לילדים שהגדרה טובה היא תיאור מדויק, קצר וממצה של מושג. 

בדיבורים על אינסוף הילדים אמרו אמירות שונות. אחד הילדים אמר שהאינסוף מזכיר לו שגם למספרים אין סוף. שאלתי את הילדים: "מהו המספר הגדול ביותר? יש בכלל מספר שהוא הגדול ביותר?" הילדים רשמו את התשובות שלהם על הלוחות המחיקים. קיבלתי כמה תשובות:

• מיליארד
• זיליון
• גוגול [גוגול הוא המספר שנכתב כ-1 עם 100 אפסים לימינו, כלומר, עשר בחזקת 100]
• [כמה מילים אחרות שהמציאו הילדים]
• אינסוף

אחד הילדים ביקש לומר שאינסוף אינו מספר. חלק מהכתה תמך בטענה וחלק התנגד. אמרתי להם שאינסוף איננו מספר. אינסוף הוא מושג שמתאר כמות או גודל ללא סוף, בדיוק כפי שהשם רומז. לגבי המספר הגדול ביותר: שוב, חלק מהכתה אמר שאין מספר שהוא הגדול ביותר וחלק מהכתה אמר שאין. שמעתי כמה הצעות כיצד להתייחס ואז הסברתי להם שנראה הוכחה מתמטית. בהוכחה יש טענה שרוצים לשכנע שהיא נכונה. ההוכחה שלנו הפעם תהיה הוכחה בשלילה. זאת אומרת שנניח בהתחלה בדיוק ההיפך ממה שרצינו להוכיח ועל ההנחה הזאת נבנה טיעונים וכשנגיע לסתירה המסקנה תהיה שהטענה המקורית שרצינו להוכיח נכונה. בהוכחה בשלילה מוכיחים ששלילת הטענה המבוקשת היא סתירה (אבסורד), ועל כן הטענה נכונה. הסתירה מוכיחה שנקודת המוצא שלנו הייתה שגויה. 

טענה: אין מספר שהוא הגדול ביותר

הוכחה: נניח שקיים מספר שהוא הגדול ביותר ונסמנו ב-#. # הוא מספר ולכן נוכל להוסיף לו 1. אם כך קיבלנו מספר חדש 1+#. אבל זהו מספר גדול יותר מ-# ולכן # אינו המספר הגדול ביותר. סתירה. מכאן שהטענה ש-אין מספר שהוא הגדול ביותר נכונה.

היתה התרגשות בכתה. ואז המשכנו.

אם כך, נראה שלקטע נוכל למדוד אורך. אין לנו בעיה של אינסוף כמו שיש לנו בישר ובקרן. עתה, נשאל מהי מדידת אורך? כיצד מודדים אורך? 

במדידת אורך אנחנו שואלים כמה פעמים נוכל להכיל יחידת אורך בקטע נתון. יחידת אורך היא כמות מאורגנת של דבר מה שיש לו אורך. למשל, אפשר למדוד אורך בחרוזים (מה אורכו של השולחן בחרוזים?) או בעפרונות (מה אורכו של השולחן בעפרונות?) או בכל דבר אחר, למשל ביחידות של סנטימטר (מה אורכו של השולחן בסנטימטרים?).

אני מבקש מכל אחד מהתלמידים למדוד את אורך השולחן שלהם בעזרת כפות הידיים שלהם: מקצה הזרת ועד לקצה האגודל. ואני מבקש מהם לרשום בלוחות המחיקים שחילקתי להם, כל אחד את המספר שיצא לו. במחיאת כף אני מבקש להרים את הלוחות ולהציג לי את התוצאות. [הילדים עובדים]. כמובן, שלא התקבלה אותה התוצאה. ביקשתי מהילדים להסביר את זה. הרי השולחנות כולם באורך זהה (והדגמנו כיצד משתכנעים, על ידי הצמדה של שניים מהם זה לצידו של זה) אז איך אפשר שהתשובות אינו זהות? ההסבר כמובן, הוא שיחידות המדידה שלנו לא היו אחידות. לחלק מהתלמידים מרחק רב יותר בין האגודל לבין הזרת ולאחרים קצר יותר. מכאן הגענו לצורך בשימוש ביחידות מידה אחידות -- לדוגמה, איך אפשר ללכת לחנות רהיטים ולקנות שולחן לחדר העבודה במידות הנכונות אם מי שבחנות מודד עם כף ידו ואילו מי שמדד את המקום בחדר הוא אדם אחר שמדד עם כף ידו? מי ערב לכך שמידות כף היד זהות? יש כאן בעיה. סיפרתי לילדים שהתובנה שיש להשתמש ביחידות מידה משותפות הגיעה לאנושות רק לפני כמה מאות שנים והיא קידמה מאוד את הכלכלה ופתרה בעיות רבות. סיפרתי להם גם על כשל בכניסה למסלול סביב המאדים שהיה ברכב החלל ששלחה נאס"א למאדים ב-1999 בשל אי התאמה בין יחידות המידה שהשתמשו בעם לצורך החישובים הצוות האירופי (יחידות SI) לבין יחידות המידה שהשתמשו בהן בצוות האמריקני (יחידות אימפריאליות). התברר שהוזנו יחידות מידה אימפריאליות במקום יחידות מידה מטריות. הבלבול בנתונים, שנודע בנאס"א בשם metric mixup (הבלבול המטרי), גרם לחללית להיכנס למסלול נמוך מהמתוכנן וכתוצאה מכך היא נשרפה מהחיכוך עם האטמוספירה. התוצאה: אובדן רכב החלל. עלויות עצומות בממון, בעבודה ובזמן ירדו לטימיון!

סיכמנו מה למדנו בשיעור ועברתי בין התלמידים. חידדנו את הפרטים ותיקנו טעויות. לבסוף, נפרדנו לשלום. התלמידים החזירו לי את הלוחות המחיקים בגמר השיעור.

התלמידים התבקשו להביא לשיעורים מחברת משובצת מיוחדת לסדנה, כלי כתיבה, סרגל, מחוגה ומד זווית.

המורה,

שלמה יונה